概率论与数理统计 习题五答案 1.一只骰子连续投掷4次，总点数为。估算P{10X18}。 【解】 设 表示第次投掷的点数，则 和 等服从独立同分布。故 2.设某生产线生产的产品合格率为0.8，一批产品的合格率达到76%~84%之间的概率不小于90%，请问这批产品至少要生产多少件？ 【解】 设至少需要生产n种产品才能满足要求。设 ，则它们相互独立，且服从同一（0-1）分布。现要求n，根据独立同分布的中心极限定理，整理表格得n≥268.96，所以n=269.3。 某车间有200台同一型号的机床，每台机床启动的概率为0.7，假设每台机床启动互相不影响，每台机床启动时耗电15单位，请问至少要供给多少单位电量才能保证95%的概率不因供电不足而影响生产。 【解】假设需要给车间供电至少为单位，这个电量最多可以同时供给m台车床，我们的问题是求。 以观察一台机床是否在运转作为一个实验。在200次实验中，用表示运转的机床台数。那么根据题目和棣莫弗-拉普拉斯定理可知m=151，所以供电量为151×15=2265（单位）。 4.一个加法器同时接收到20个噪声电压（）。 设它们是相互独立的随机变量,且在区间(0,10)上均匀分布。注意,求P{V＞105}的近似值。【解】易知：。
根据独立同分布的中心极限定理，该随机变量为P{V105}≈0.348。5.有一批造房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机抽取100根木柱，其中至少有30根短于3m的概率有多大？【解】设有X根短于3m的木柱，则X~B(100,0.2)。根据棣莫弗-拉普拉斯定理可得 6.某制药公司断言，该公司生产的某种药品对于一种难治血液病的治愈率为0.8。医院督查随机抽取100名服用此药的病人，如果其中治愈率超过75%，则接受该断言，否则拒绝。 （1）如果这种药对这种疾病的实际治愈率为0.8，接受这个断言的概率有多大？ （2）如果这种药对这种疾病的实际治愈率为0.7，接受这个断言的概率有多大？ 【解答】设 ， ， 则它们相互独立，且服从同一分布，所以 （1）当 ， ， 由棣莫弗-拉普拉斯定理可得 （2）当 ， ， 由棣莫弗-拉普拉斯定理可得 7.利用拉普拉斯中心极限定理，近似计算从一批缺陷率为0.05的产品中抽取1000件，其中有20件是缺陷品的概率。 【解答】设1000件中缺陷品数为X，则 ， ，E(X)=50，D(X)=47.5。由拉普拉斯局部极限定理可得 8.假设有30个电子设备。 它们的使用寿命服从带参数（单位：）的指数分布，其使用情况是第一个损坏，第二个立即使用，依此类推。设T为这30台设备使用时间之和，求T超过350小时的概率。【解】根据题意，和，于是根据独立同分布的中心极限定理得9。设上题中每台电子设备价格为1元，则全年计划需要多少元才能保证有95%的概率（假设一年有306个工作日，每个工作日为8小时）有足够的设备。【解】设一年至少需要n台电子设备，则E（Ti）=10，D（Ti）=100，，根据独立同分布的中心极限定理得，所以全年计划至少需要272a元。 10.对于某个学生来说，参加家长会的家长人数是一个随机变量。设某个学生没有家长参加、有1名家长参加、有2名家长参加的概率分别为0.05、0.8、0.15。设学校共有400名学生，假设每个学生的家长参加家长会的人数是独立的，且服从同一分布。（1）求参加家长会的家长人数超过450人的概率？（2）求只有一名家长参加家长会的学生人数不超过340人的概率。【解答】（1）设第i名学生的家长参加家长会的人数为。则Xi的分布规律为。050.80.15。易知E（Xi=1.1），D（Xi）=0.19，i=1,2,…,400。 又，由独立同分布的中心极限定理，我们得到 (2) 设只有一位家长参加会议的学生人数为。则Y~B(400,0.8)。由拉普拉斯中心极限定理，我们得到11。假设男孩的出生率为0.515，那么10,000个新生儿中女孩的数量不少于男孩的概率是多少？【解答】设X代表10,000个婴儿中男孩的数量，则X~B(10,000,0.515)。女孩的数量不少于男孩数量的概率为P{X≤5000}。由棣莫弗-拉普拉斯定理，我们得到12。假设1000人独立行动，每个人能按时进入避难所的概率是0.9。以95%的概率，一次行动中： (1)至少有多少人可以按时进入避难所？ （2）最多有多少人能按时进入避难所？【解答】 当引入新的变量时，它们之间是独立的，且服从同一分布。
注意：（1）假设至少有m人能按时进入避难所，要求P{m≤X}≥0.95，由棣莫弗-拉普拉斯定理可知： 因此，m=900-15.65=884.35≈884人。 （2）假设最多有M人能按时进入避难所，要求P{X≤M}≥0.95，查表可知 =1.65，M=900+15.65=915.65≈916人。 13.某保险公司有10000人参保，每人每年交12元保费，一年中死亡1人的概率为0.006，死者家属可从保险公司得到1000元赔款。 求：（1）保险公司没有利润的概率是多少； （2）保险公司一年利润不低于6万元的概率有多大？【解答】设X为一年内参保人死亡人数，则X~B(10000,0.006)。（1）当且仅当“1000X=10000×12”，即“X=120”时，公司没有利润。根据拉普拉斯局部极限定理，所要求的概率为 (2)因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”，根据棣莫弗-拉普拉斯定理，所要求的概率为14。设随机变量和的数学期望分别为2，方差分别为1和4，相关系数为0.5。试基于切比雪夫不等式给出P{|XY|≥6}的估计值。 （2001研究考试）【解答】设Z=XY，故15。某保险公司历年的统计数据显示，在索赔人中，遭受盗窃的索赔人占20%。设X表示随机抽取的100个索赔人中，向保险公司索赔遭受盗窃的人数。（1）写出X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求出索赔盗窃罪家庭不少于14户、不多于30户的近似概率。（1988研究考试）【解答】（1）每次随机抽样作为一次试验，100次随机抽样作为100次伯努利试验。
每次试验中出现被盗户的概率为0.2，故X~B(100,0.2)，所以X的概率分布为（2）根据棣莫弗-拉普拉斯定理，所要求的概率为16。一条生产线上生产出来的产品都装在箱子里，每个箱子的重量是随机的，设每个箱子的平均重量为50公斤，标准差为5公斤，若使用最大载重量5吨的卡车进行运输，试利用中心极限定理说明每辆卡车最多能装载多少个箱子，才能保证不超载的概率大于0.977。【解】设每个箱子的重量为Xi(i=1,2,…,n)(单位：公斤)，n为所要求的箱子数。可以看作是一个独立同分布的随机变量，n个箱子的总重量为独立同分布的随机变量之和。 从问题中我们知道：根据独立同分布的中心极限定理，当n很大时，，所以箱子的数量n取决于条件。因此，我们可以由此解出n98.0199，取n=98，也就是最多可以装98个箱子。