一维线性方程应用题（班次问题、航行问题、环形跑道问题）【5个资料】
第1部分：一维线性方程应用题（行程问题、航行问题、环形跑道问题）
一元线性方程旅行问题
一、柱方程解题的一般步骤（解题思路）
(1) - of ：认真审题，弄清题意，找出能表达题意的等价关系（找出等价关系）。
(2)设——设未知数：根据题意，巧妙地设未知数。
(3) —List the ：设置未知数后，用字母表达相关公式，然后使用已找到的等价关系
列出方程式。
(4) ——Solve ：求解所列方程，求出未知数的值。
(5)答案——检查，写答案：检查求得的未知数值是否为方程的解，是否符合实际，检查后写出答案。 （注意单位）
2. 各类题型解法分析
一元线性方程组应用题的分类与收集：
行程问题、工程问题、和差倍增问题（制作、工艺等问题）、等积变形问题、部署问题、分布问题、支撑问题、增长率问题、数值问题、方案设计与成本分析、经典数学、浓度问题等
行程问题
基本定量关系：（1）距离=速度×时间（2）速度=距离÷时间（3）时间=距离÷速度
特别注意：距离、速度和时间的对应关系（即某段距离上对应的速度和时间是多少）
常用的等价关系：
1. A 和 B 相遇
⑴A走过的距离+B走过的距离=总距离⑵两人所花的时间相等或有提前量
2、A和B中，慢者的行程或时间在同一个方向追赶的提前量
⑴A走过的距离-B走过的距离=提前量⑵两者所用时间相等或有提前量
3、单程往返
⑴ 各段距离之和=总距离 ⑵ 各段时间之和=总时间 ⑶ 匀速行驶时，速度保持不变
4.船舶航行问题和飞机飞行问题
⑴ 顺流速度=静水速度+水流速度 ⑵ 逆流速度=静水速度-水流速度
5.考虑车长过桥或过山洞隧道的问题
如果把每辆车的前部或后部分析为一个人的驾驶问题，那么一切就一目了然了。 1． 一般行程问题
例子
1、从A点到B点，一个人步行比坐公交车多3.6小时。 已知步行速度为每小时8公里，公交车速度为每小时40公里。 假设A和B之间的距离为x公里，则方程为。
例子
2、A、B两地同时出发，相距18公里，向对方走去，1小时48分相遇。 如果 A 比 B 早 40 分钟出发，则他们在 B 出发后 1 小时 30 分钟会合。 当 A 比 B 快于每小时 1 公里时，求 A 和 B 的速度。
例子
3. 有人骑自行车从家到学校。 时速15公里，可比预定时间提前15分钟到达； 如果你每小时行驶9公里，你可以比预定时间晚15分钟到达； 从家到学校的距离是多少公里？
例子
4、一列200米的客车和一列280米的货车在平行轨道上相向行驶。 从两辆车的车头相遇到两车的尾部完全分开用时16秒。 : 2. 两车每秒行驶多少米？
例子
5、一列火车长150米，以每秒15米的速度通过600米长的隧道。 从火车进入隧道入口那一刻起，火车完全通过隧道需要多长时间？
2.环形跑道问题
例子
6、800米跑道上有两人练习中长跑。 A每分钟跑320米，B每分钟跑280米。 两人同时开始在同一地面上向同一方向奔跑。 t 分钟后，他们第一次见面。 t等于多少分钟？
例子
7. A 和 B 两个人在 400 米长的环形跑道上跑步。 A每分钟跑240米，B每分钟跑200米。 他们同时在同一个地方和同一个方向开始。 几分钟后，他们见面了？ 如果你倒着跑，几分钟后见面？
3.航行和飞行问题
例子
8. 一艘船在两个码头之间航行。 水流速度为 3 km/h。 顺水航行2小时，逆水航行3小时。 找出两个码头之间的距离。
例子
9. 一架飞机以每小时 24 公里的风速在两个城市之间飞行。 顺风飞行需要2小时50分钟，顺风飞行需要3小时。 找出两个城市之间的距离。
第二部分：行程问题——一元线性方程组经典应用题
行程问题
1.遇到问题：
距离=速度x时间
A 和 B 向对方走去，则： A 走过的距离 + B 走过的距离 = 总距离
2、追逐问题：A和B同向但在不同地方，则：追赶者走过的距离=前者走过的距离+两地之间的距离
3.环形跑道问题：
1、A、B两个人同时在环形跑道上的同一个地方、同一个方向出发：快的要多跑一圈才能追上慢的。
2、A、B两人在环形跑道上同时向相反方向出发：两人第一次相遇时的总距离为环形跑道一圈的长度。
4.导航问题
1.飞行问题，基本等价关系：
顺风速=无风速+风速逆风速=无风速-风速
顺风速度-逆风速度=2×风速
2.导航问题，基本等价关系：
顺流速度=静水速度+流水速度逆流速度=静水速度-流水速度
下游速度 - 上游速度 = 2 x 水速
1.遇到问题
1.两列火车A和B同时从相距700公里的两个地方相向而行。 火车 A 以每小时 85 公里的速度行驶，而火车 B 以每小时 90 公里的速度行驶。 两列火车相遇多久？
2. A 和 B 同时从相距 27km 的 A 和 B 向对方走去已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，3 小时后相遇。 A 每小时比 B 多行驶 1 公里。 求 A 和 B 的速度
3. A 和 B 两个城市相距 100 公里。 摩托车和自行车同时从两个城市出发，向对方驶去。 2.5小时后，两车相遇。 自行车的速度是摩托车的1/3倍。 求摩托车和自行车的速度。
4.A村与B村之间的距离为2800米。 小明从A村出发步行5分钟到B村后，小军骑自行车从B村到A村，又过了10分钟，两人相遇。 小君骑自行车比小明快 走路130米每分钟，小明每分钟走多少米？
5.甲、乙两人同时骑自行车从相距65公里的两个地方向对方走去。 A的速度是每小时17.5公里，B的速度是每小时15公里。 求 A 和 B 经过了多少小时。B 和 B 相距 32.5 公里。
6. A 车和 B 车同时从相距 480 公里的两个地方相向而行。 汽车 A 以每小时 45 公里的速度行驶。 由于途中发生故障，A 车停了 1 小时。 两辆车在 5 小时后相遇。 B车每小时行驶多少公里？
2.追逐与问题
1. A和B之间的距离是20km。 A和B分别从A和B开始。 A的速度为6km/h，B的速度为8km/h。
(1) 如果两个人朝对方走去，A 在 B 前半小时离开，问 B 出发后多少小时会见 A？
(2)如果两个人同时向同一个方向出发，A在前，B在后，问B多少
小时赶上盔甲？
2.自行车队进行训练。 训练期间，所有选手骑行距离为35公里
以45公里/小时的速度前行，突然，1号队员独自以45公里/小时的速度前行
继续前进，行驶10公里后掉头，仍以每小时45公里的速度
骑回去，直到与团队的其他成员会合。 No.1球员从离队到陪伴
团队成员重新团聚需要多长时间？
3、一群同学去郊外进行军营训练。 他们以 5 公里/小时的速度行驶。
将信息传递给领队后，记者从学校出发，骑自行车以14公里/小时的速度沿原路行驶。询问记者需要多长时间才能赶上学生队
吴？
3.环形跑道
1.圆形跑道长400米，A每分钟跑550米，B每分钟跑550米。
时钟走250米，A和B同时开始，多少分钟后
他们又见面了？
4.导航问题
1. 一艘轮船在A地和B地之间航行，顺水3小时，逆流3小时。
比下游多30分钟，已知静水时船速2.6万/小时
m，求水流的速度。 2. 一艘船从A地顺流而下到B地9小时，原路返回
到达 A 点需要 11 小时。已知当前速度为 2 km/h，求船在静水中的速度。
3. 一架飞机在两个城市之间飞行，风速为每小时 24 公里。 顺风飞行需要2小时50分钟，顺风飞行需要3小时。 寻找
两个城市之间的距离
5.火车过桥
1. 一座桥有 500 米长。 一列火车经过这座桥。
从开始上桥到完全通过需要30秒，整列火车上桥的时间为20秒。 求火车的速度和长度。
2. 快车和慢车在两条平行轨道上相对运行。 快车长150米，慢车长200米。 坐在慢车上的乘客看到的是快车。
通过窗口的时间是6秒，让快车上的乘客看到慢车经过
以秒为单位的窗口时间是多少？
3、有A、B两列列车，长度分别为144米和180米。 A 列火车每秒比 B 列火车行驶 4 米。 两列火车相向而行。
9秒，两车的速度是多少？
4、火车通过一条256米长的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口）需要26秒，火车需要16秒才能通过
时间经过一条96米长的隧道，求火车的长度。
第三部分：一元线性方程的讲义 - 行程问题
尊敬的评委老师们，大家晚上好。 我今天讲课的内容是实际问题和一元一次方程中的行程问题。 我将从教材分析、教学目标、教学方法、教学过程和板书设计五个方面来谈谈今天的讲座。
一、教材分析
教材内容、实际问题和一次未知数的一次方程是人教版七年级上册第三章第四章的内容。 它可以应用于子问题等几个主要方面，而行程问题是其中比较重要和常见的问题之一。
其次，教材的地位和作用：一元一次方程组的应用是在学生初步掌握代数知识，掌握一元一次方程组及其解的内容后安排的。 教材的安排既为求解一未知量的线性方程组应用题做了必要的准备，又打破了求解一元组线性方程组应用题的难点。
学生在小学就已经学过简单的行程问题，掌握了距离、速度、时间这三个基本量之间的基本关系。 初中时，他们又用一维一次方程的方法对行程问题进行了分析，不仅巩固了小学的知识，还为以后学习二元一次方程和分数阶方程打下了坚实的基础。 本课在整个中学数学学习中起着承前启后的重要作用。教学难点
根据对学生和课本的分析，我确定本课的教学重点是：正确寻找相等关系的难点是：正确理解相等关系，并用未知数表示关系中的每一个量。
二、教学目标
知识和技能的目标是将实际问题抽象成线图，并找到等价关系以列出方程式。
过程和方法的目标是：通过对一元线性方程组的探究和数形相结合的数学思想的渗透，提高学生的观察、归纳、抽象和推理、论证能力。
情感态度和价值观的目标是：创设积极有趣的情境，让他们在活动中有成功的体验，培养探索精神，树立学习信心。
3. 教与学
按照新课程标准的要求，课堂只是课堂的组织者、引导者和协作者。 有效教学的唯一评价是学生的主观能动性，因此我将本课的教学方法确立为开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法和反馈评价法。 研究方法确立为：自主探究法、观察发现法、合作交流法、归纳总结法。 全班创造有利于他们主动学习和发展的环境和条件。
四、教学过程 1、创设情境
首先播放一段狮子捕食斑马的小视频，让同学们看到追逐的过程，从而自然而然地联想到今天所学的内容，即行程安排。 其次，通过回忆小学学过的简单行程问题，重点强调三个基本公式，距离=速度*时间。速度=距离/时间，时间=距离/速度2.探索新知识
第四部分：行程问题应用题
行程问题专项培训
【行程问题】
速度 x 时间 = 距离
v × t = s [遇到问题]
速度之和×会面时间=会面距离
(v1 + v2) × t 遇到 = s 遇到【后续问题】
速度差×追赶时间=距离差
(v1v2)×(v1 + v2)= 总计
★1 甲、乙两人同时从相距30公里的两个地方出发，向对方走去。 A每小时走6公里，B每小时走4公里。 问：两人见面需要多长时间？
★2 早上6:00，一辆卡车从A地跑到B地，平均时速45公里。 一辆客运列车从B地到A地，平均每小时比A车快15公里。 据了解，客车比货车晚了2个小时才发车。 中午12:00，两辆车同时经过中间的某个站点，然后没有停留，继续向前行驶。 问题：客车到达A点时，货车距离B点多少公里？
★3 A、B两车同时由东向西行驶。 A 车时速 56 公里，B 车时速 48 公里。 两车在距离中点32公里处相遇。 两地之间的距离是多少公里？
★4 一辆汽车以每小时32公里的速度从A地开到B地。 4个小时后，剩下的路8公里还不到全程的一半。 到 B 的时间？
★5 上午8:00，甲、乙两人同时骑自行车从东村到西村，甲比乙快6公里每小时。 中午12:00，A到达西村后立即返回东村，在距离西村15公里处与B会合。 东西村之间相距多少公里？
★6 早上7:00，甲、乙两人同时从甲地到乙地，每小时甲比乙快8公里。 上午11点到达B点，立即返程，在距离B点24公里处会合。求A点和B点的距离，单位为公里？
【环形跑道问题】
同向跑：赶上问题 反方向跑：遇到问题
★7 在一条400米的环形跑道上，甲、乙两人同时起跑。 如果他们同向跑并相遇3分20秒，如果他们向后跑并相遇25秒，则已知A跑得比B快。求A和B的速度。许多？
※ 手术
1、小玲每分钟走100米，小平每分钟走80米。 两人同时从学校和少年宫走向对方，在中点120米处相遇。 从学校到少年宫多少米？
2、汽车和摩托车同时从A地和B地对面行驶。 汽车时速40公里，摩托车时速65公里。 摩托车到达两地中点时，距离汽车75公里。 A 和 B 之间有多少公里？
3、汽车时速60公里，比乘用车多5公里。 两车同时从A、B两地向对方驶来，在距离中点20公里处相遇。 找出 A 和 B 之间的距离。
4. A 和 B 两个人同时从 A 到 B。 A每分钟走250米，B每分钟走90米。 A 到达 B 后，立即返回 A，在距 B 3.2 公里处会合。请问 A 和 B 之间的距离是多少英里？
5. 小平和小红同时从学校走到小平家。 小平每分钟比小红多走20米。 小平30分钟后到家，立即原路返回，在离家350米处遇到了小红。 小红每分钟走多少米？
6. A 和 B 两个人在同一个地方上班。 A每小时走5公里，B每小时走6公里。 A需要在B出发前1小时出发。 多少小时能赶上A？
7. A、B、C三辆车同时从A点出发到B点。 A车和B车的速度分别为60km/h和48km/h。 小时、6小时、8小时先后遇到A、B、C三辆车。问：C的时速是多少公里？
8. A 和 B 两辆车同时从 A 出发到 B。 A和B的速度分别为4m/s和6m/s。 有车C以8m/s的速度从B开来遇到A，3分钟后又遇到B车，问：AB到AB的距离是多少公里？
【记者提问】
牢牢把握关键隐含条件——时间均等。 【火车过桥问题】桥长+火车长=距离
速度 ×过桥时间=距离【错车或超车问题】A车长+B车长=距离
速度和×超车时间=超车距离速度差×超车时间=超车距离
船速：静水速度
水流速度：河流中水流的速度
顺流船速：逆流航行时的船速 逆流航行时的船速 逆流航行时的船速
★1 A队和B队的同学同时从相距18公里的两个地方出发，相向而行。 一个同学骑着单车，时速14公里，不断地在两队之间来回交流。 A 队每小时行驶 5 公里，B 队每小时行驶 4 公里。 两队相遇时，骑自行车的同学一共走了多少公里？
★2 100米长的火车以每秒20米的速度通过500米长的大桥。 火车过桥需要多少秒？
★3 货运列车要经过一座1800米长的大桥。 已知卡车从车头离开桥需要120秒，而卡车上桥的时间是80秒。 这辆卡车有多长？
★4 两码头相距360公里。 摩托艇顺流航行9小时，逆流航行12小时。 船在静水中的速度是多少千米？ 这条河的流速是多少公里？
★5 A、B航站楼之间的距离为336公里。 一艘船从 B 码头逆流而上，行驶 14 小时后到达 A 码头。 已知轮船的速度是水速的13倍，轮船从A码头回到B码头需要多少小时？
★6 一辆客车在车身上方190米处，以每秒24米的速度行驶； 这辆客车前面是一辆230米长的货车，每秒行驶18米，两列列车在两条平行轨道上运行。 乘用车从后面超过卡车需要多少秒？
※ 手术
1、甲、乙两个人同时从两个地方出发，向对方走去，相距100公里。 A时速6公里，B时速4公里，A带狗，狗时速10公里。 狗从A开始，遇到B就掉头朝A跑，遇到A又掉头朝B跑。 狗跑了多少公里，直到两人相遇？
2、两队学生同时从相距30公里的A地和B地出发，一只鸽子以每小时20公里的速度在两队之间来回送信。 假设鸽子从同学出发到相遇总共飞了30公里，A队同学比B队同学每小时多走0.4公里，求两队同学的步行速度。
3、小舟逆流而上，水壶落水。 找到时，水壶已经离船3公里远。 已知静水中船速为每小时6公里，水流速度为每小时2公里。 船掉头后需要多长时间才能追上水壶？
4、一位有特殊运动背景的同学，用10秒的时间跑完了90米的风。 同样风速下，顺风跑70米也需要10秒。 问题：在没有风的情况下，他跑完 100 米需要多少秒？
5、A船逆流航行360公里用时18小时，返回原地用时10小时； B船逆水流航行同样的距离需要15小时。 请问：B回到原处需要多长时间？
6、列车机车车体共41节，每节长30米，节间距1.5米。 现在火车以每分钟2公里的速度穿过某个山洞，用时4分30秒。 问：这个洞穴有多长（以米为单位）？
7、火车在26秒内通过256米长的隧道，以同样的速度在16秒内通过96米长的桥梁。 找出：火车的长度是多少。 （尝试用方程求解）
8. 科学家用两个汽车模型做运动学实验。 汽车 A 和 B 的速度分别为 6 m/s 和 9 m/s。 AB与AB之间的距离为22.5米。 A车和B车同时从A开到B，到B后立即掉头返回。以此类推。 求：两车第三次相遇时已知甲乙两人在一个200米的环形跑道上练习跑步，AB中点的距离。
Part 5：分数方程应用题，行程问题
宝剑锋自磨砺出，梅花香自苦寒来
沂源县立山中学数学辅导项目八年级第1册（）
16.3。 分数方程的应用——旅行问题
学习目标：
1.知识与技能：。 分析题意，找出等价关系，会列出分数方程式，解决实际问题。 2、过程与方法：通过解决实际问题，提高学生将实际问题转化为数学问题的能力。
3、情感态度和价值观：加强学生将数学知识应用到实际问题中的兴趣和意识。 学习过程：
独立探索A和B之间的距离为19公里。 一个人从A步行7公里到B，然后骑自行车。 到达B需要2小时。已知此人骑自行车，以步行速度的4倍速度，求步行和骑自行车的速度。 学习指导：题目中的等价关系即解法：Set
练习： 1、A班和B班的同学去离学校15公里的公园秋游。 两个班级同时出发。 每个同学的速度是多少？ 设B班同学的速度为x km/h，则根据题意作方程式，得 ( )
.1.2xx152B.1.2x15x1152C.1.2x15x3015D.1.2x15
x30
2、我军某部从驻地到30公里外的地方执行任务。 由于形势变化，急行军的速度是原计划速度的1.5倍，以便按要求提前2小时到达。 找出行军的速度。
合作探索 为方便游客来昆明参加“世博会”，铁道部临时增开南宁至昆明直达快车。 据了解，南宁与昆明的距离为828公里，从南宁驾车到昆明，均有普通列车和直达特快列车，直达特快列车的平均速度是普通特快列车平均速度的1.5倍。 直达特快列车比普快列车晚发2小时，比普快列车提前4小时到达昆明。 求两列火车的平均速度？学习指导：（1）题中的等价关系是（2）普通特快列车比直达特快列车耗时更多
解：设普通特快列车的平均速度为xhm/h，则直达特快列车的平均速度为km/h，从题意
练习： 1. 船舶在静水中的最大航速为 20 公里/小时。 以最大航速顺流而下100公里的时间与以最大航速逆流而上60公里的时间相等。 多少钱？
2、为感受浓厚的中秋节气氛，我校小记者骑着自行车来到距学校6公里的新世纪商场进行采访。 10分钟后，小记者李奇坐公交车到了。 公交车的速度是自行车的2倍。 次，两人同时到达。 两辆车的速度分别是多少？
合规性测试：
1、一艘船在下游航行20公里和在上游航行10公里所需要的时间是一样的，水流的速度是每小时2.5公里。 求船在静水中的速度。
2、住在隔壁的蜗牛神和蚂蚁王相约第二天早上8:00一起出发，参加16米外银杏树下的微型动物峰会，讨论环保问题。 蜗牛神想起了“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留了一张纸条，自己提前2小时前行。 蚁王准时出发，他们却同时到达。 已知蚂蚁之王的速度是蜗牛之神的4倍，求出它们各自的速度。
3.一个人骑自行车比步行每小时快8公里。 如果他步行 12 公里的时间等于他骑自行车 36 公里的时间，那么他步行 40 公里需要多少小时？
4.某校学生正在进行紧急行军训练，预计下午5:00到达，行程60公里。
将速度提高 5，并在下午 4:00 到达 找到原计划行军的速度。
5、我军到某座桥去阻击敌人。 我们出发时，敌军离桥24公里，我军离桥30公里。 我军行军速度是敌军的1.5倍，比敌军提前48分钟到达。 请问我们急行军的速度。
教学反思：