在数学史上，有许多几十年甚至几百年都未能解决、经过巨大努力才得以解决的数学猜想，存在于不同的数学领域。在这些世界级的数学难题中，数论中的问题占了绝大多数。数论中的这些猜想并不像其他数学分支那样需要大量的背景知识，它们看上去非常简单，甚至初中生甚至小学高年级学生都能看懂命题。但是，不要被它的“诚实的外表”所欺骗，要解决这些数学问题，你必须有深厚的数学功底，才能揭开它的神秘面纱。接下来，我将讲一些历史上的数论猜想。
已证实的猜想
费马最后定理：古希腊数学家丢番图的《算术》一书中，有一条不定式。
丢番图给出了这个不定方程的一组正整数解
在
n" ="1">为任意正整数。费马是一位“不务正业”的业余数学家，他的主要工作是法官，在那个年代，法官几乎没有社交生活，他的大部分精力都用在研究数学和物理问题上。在《算术》中读到这个命题时，他玩了一个跨越世纪和时空的恶作剧，在旁边写下了一段话：“把立方除以两个立方之和，把四次方除以两个四次方之和，或者一般地把n次方除以两个相等幂之和，都是不可能的。关于这一点，我确信我已经找到了一个真正精彩的证明，可惜这里的篇幅太小，写不下来。”
费马去世后，他的儿子整理了所有留下的手稿，却未能找到一个精彩的证明。此后的300年里，大批数学家关注这个问题，其中有欧拉、狄利克雷、拉梅、库默尔、法尔廷斯等人，他们做了大量有意义的工作。他们所创造的方法除了推动费马问题的解决外，也推动了数学的发展。终于，1995年5月，数学杂志普林斯顿《数学年鉴》发表了一篇数学论文，困扰数学界350多年的费马问题被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
关于素数数量的猜想，即素数的数量是无限的猜想，早在欧几里得之前就有人在寻找。欧几里得在《几何原本》中设计了一个精彩的证明。他的想法不是找出任何已知素数后面的素数，而是用一个大得多的素数代替下一个素数：让 p 为任意素数，将所有从 2 到 p 的素数相乘并加 1，将其写为
显然，2, 3, 5, ..., p 这些素数中没有一个能整除 N。因此，N 要么是素数本身，要么 N 的所有素因数都不同于 2, 3, 5, ..., p 并且大于 p。
关于圆周率还有一种不合理的猜想，我会写一篇专门的文章来介绍圆周率，敬请关注。
仍未证实的猜想
1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，发表了一个猜想：任何大于5的自然数，都可以写成3个素数的和。不久之后，欧拉回信说：任何大于4的偶数，都是两个素数的和。这个猜想直到19世纪末才取得进展。到20世纪初，希尔伯特把哥德巴赫猜想列为著名的23个难题之一。之后，各国数学家都努力研究哥德巴赫猜想的弱形式和因式哥德巴赫猜想。所谓弱形式，就是把自然数写成素数的和。
k越小越好，如果证明偶数有k=2，那么哥德巴赫猜想就解决了。至此，王尔汗于1976年证明每一个足够大的偶数都可以表示为最多6个素数的和。我国的张明耀于1983年证明所有正整数都可以表示为最多24个素数的和。至于因数的哥德巴赫猜想问题，先把偶数写成两个自然数的和。
这两个自然数的素因子个数分别不超过a和b，可以简写为“a+b”，至今最好的结果是1973年陈景润证明的“1+2”。
孪生素数猜想指出，在素数序列中，我们经常会遇到一对相邻的数字，它们既是奇数又是素数，比如3和5，5和7，11和13等等。经过长期的积累，人们发现了很多对孪生素数，但人们发现，随着数字越来越大，孪生素数变得越来越稀疏。孪生素数猜想指出，这样的素数对应该是无限的。
素数猜想
形如 p 的素数称为梅塞尼素数，其中 p 为另一个素数。有人猜测：梅塞尼素数是否存在无限个？迄今为止发现的梅塞尼素数记录不断被刷新，但从第 13 个开始，所有梅塞尼素数都是借助计算机发现的。
黎曼猜想：1800年，高斯和勒让德提出一个重要猜想，即“对于较大的x值，小于x的素数个数约等于
这个猜想50年来一直没有进展，直到1859年，黎曼的著名论文《论小于给定数的素数个数》指出了解决这个问题的策略。论文认为素数的分布与复数的函数有关。
黎曼猜想是，对于这样的零点，实部等于二分之一。基于黎曼的论文，高斯-勒让德猜想于 1896 年得到证明，被称为素数定理。但黎曼猜想至今仍未得到解决！
还有一些其他著名的猜想，例如奇完全数猜想，角谷猜想，回文数猜想等等，感兴趣的爱好者可以收集相关资料。
反例推翻猜想
费马猜想：
都是素数。费马在1640年提出了这个猜想，可以表示为
公式中的数字都是素数，其中n是非负整数（这种数称为费马数）。直到1732年，大数学家欧拉才给出了反例。
猜想被推翻后，反例似乎并不难想出来，之后又给出了几个反例。现在人们的注意力又转向了一个新的猜想：只有有限个费马数是素数，而且目前还没有定论。
6n+1和6n-1型数对猜想：1509年杜布凡纳注意到6n+1和6n-1型数对，提出对于任意自然数n，6n-1和6n+1两个数中至少有一个是素数。然而，该猜想提出后不久，有人给出了反例，当n=20时不成立。一般取
这些猜测全都不成立。
因子系数猜想： 因式分解
猜猜，放
分解为具有整数系数的不可逆因子后，各系数的绝对值不超过1。伊万诺夫还针对n=105给出了反例，从而否定了猜想。