其实，PHP程序员到底要学算法，还是要深挖算法，目前还没有定论。博主即将大四，在找实习的过程中，逐渐发现了学习算法的重要性。博主在学校时的工作室老板曾说过，熟悉算法可以让你的天花板更高，所以才有了这一系列博客，每天一个算法，由简入难，逐步提升你的编程能力。
今天博主想讲一下背包算法。
先来一个问题。场景如下：
0-1背包问题：
有n个物品，1个背包。每个物品i的重量为wi，价值为vi，背包容量为W。每个物品只有一件，可以装也可以不装，不能拆分。如何选择物品装入背包，使得背包中物品总价值最大化？要求算法输出最优值和最优解。
1）问题分析
在选择放入背包的物品时，物品i只有两个选项，放入背包或者不放入背包。物品i不能多次放入背包，也不能只将物品i的一部分放入背包。设xi表示物品i放入背包的情况，当xi=0时，表示不放入背包；当xi=1时，表示放入背包。
2）算法思想与算法设计
算法思想：
根据问题分析，设计如下约束和目标函数：
因此，问题归结为寻找一个满足约束并最大化目标函数的解向量 X=(x1,x2,x3,…xn)。
由于 0-1 背包问题的解由向量 (x1, x2, x3, ... xn) 描述。该问题可以视为对 n 维 0-1 向量 (x1, x2, x3, ... xn) 的决策。对于任何分量 xi 的决策都是“决定 xi = 1 或 xi = 0”，i = 1, 2, 3 ..., n。在对 xi-1 做出决策后，序列 (x1, x2, x3, ... xn) 已经确定。在决定 xi 时，问题处于以下两种状态之一：
（1）若背包容量不足以容纳物品i，则xi = 0，放入背包的价值不会增加。
（2）如果背包的容量足以容纳物品i，则xi = 1，背包中物品的价值增加vi
在两种情况下，价值最大的背包的价值应该是对 xi 进行决策后的价值
令 C[i][j] 表示子问题
的最优值
那么，C[i-1][j-wixi]就代表了该问题的一个子问题。
的最优值。
经过分析，最优值的递归定义是：
算法设计：
1：用数组w[n]存储n个物品的重量；数组v[n]存储n个物品的价值，背包容量为W，数组C[n+1][w+1]存储每次迭代的执行结果；数组x[n]用于存储装入背包的物品的状态。
2：初始化。按上述方法递归初始化数组 C
3：循环阶段。根据上面的递归公式，确定前i个物品可以装入背包时的最优值
3-1：当i=1时，求C[1][j]，1≤j≤W。
3-2：当i=2时，求C[2][j]，1≤j≤W
依此类推，直到...
3-n：当i=n时，求C[n][W]，1≤j≤W。此时C[n][W]即为最优值。
4：确定具体要装入背包的物品。从C[n][W]的值开始往前推，若C[n][W]>C[n-1][W]，则xn=1，将前n-1个物品装入容量为W-wn的背包中，否则xn=0。以此类推。。。。
得到以下关系：
当 C[i][j] = C[i-1][j] 时 xi=0, j=j
当 C[i][j]>C[i-1][j] 时 Xi=1, j =j-wi
根据公式，你可以确定放入背包的具体物品
3）插图
商品重量：w1 = 7 w2 = 23 w3 = 25 w4 = 24
项目值：v1 = 1 v2 = 8 v3 = 19 v4 = 11
根据算法设计步骤，示意图如下
使用二维数组C[5][53]存储各个子问题的最优值，第i行表示物品，第j列表示背包容量，表格中的数据表示为C[i][j]。
（1）根据公式初始化第0行和第0列，如下图所示
（2）当i=1时，求C[1][j]，1≤j≤W。
由于项目1的权重为w1=7，其价值为v1=1，我们可以分为两种情况进行讨论。
1. 若j < wi，即j 2. 若j ≥ w1，即j ≥ 7，则C[1][j]=max{C[0][j],C[0][j-w1]+v1}=max{C[0][j]},C[0][j-7]+1}
i=1时的内容如下
（3）当i=2时，求C[2][j]，1≤j≤W。
由于项目2的权重为w2=23，其价值为v2=8，我们可以分为两种情况进行讨论。
1. 若 j < w2，即 j 2. 若 j ≥ w2，即 j ≥ 23，则 C[2][j] = max{C[1][j], C[1][j-w2]+v2} = max{C[1][j]}, C[1][j-23]+8}
i=2时的内容如下
（4）当i=3时，求C[3][j]，1≤j≤W。
由于项目3的权重为w3=25，价值为v3=19，因此我们可以分两种情况进行讨论。
1. 若 j < w3，即 j 2. 若 j ≥ w3，即 j ≥ 25，则 C[3][j] = max{C[2][j], C[2][j-w3]+v3} = max{C[2][j]}, C[2][j-25]+19}
i=3时的内容如下
（5）当i=4时，求C[4][j]，1≤j≤W。
由于项目4的权重为w4=24，其值为v4=11，因此我们可以分为两种情况进行讨论。
1. 若j < w4，即j 2. 若j ≥ w4，即j ≥ 24，则C[4][j] = max{C[3][j],C[3][j-w4]+v4} = max{C[4][j]},C[4][j-24]+11}
i=4时的内容如下
最后从图5可以看出，背包中装载的物品的最大价值为30
（6）通过将C[n][W]的值向前推进，最终可以找到应该放入背包的具体物品，即问题的最优解。
最初，j=W=52，i=4。
C[4][52]>C[3][52]，第4个物品放入背包，x4=1，j=j-24=28。
C[3][28]>C[2][28]，第三件物品放入背包，x3=1，j=j-25=3。
C[2][3]=C[1][3]，第二件物品未放入背包，x2=0。
C[1][3]=C[0][3]，第一个物品未放入背包，x1=0。
该问题的最优解是X=(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,1)；
4）算法描述
/*
*背包算法类
*/
class bag {
private $n;//物品的数量
private $W;//背包总容量
private $w = array();//物品的重量数组
private $v = array();//物品的价值
public function __construct ($n,$W,$w,$v) {
//构造函数初始化基本数据
$this->n = $n;
$this->W = $W;
$this->w = $w;
$this->v = $v;
}
//背包算法
public function knapsack () {
$n = $this->n;
$w = $this->w;
$v = $this->v;
$W = $this->W;
$C[$n][$n] = [];
$x[$n] = [];
for ($i=0; $i<=$n; $i++) {
$C[$i][0] = 0; //初始化第0列
}
for ($i = 0; $i <= $W; $i++) {
$C[0][$i] = 0; //初始话第0行
}
for ($i = 1;$i <= $n;$i++) { //计算C[$i][$j]
for ($j=1; $j <= $W; $j++) {
if ($j < $w[$i-1]) {
$C[$i][$j] = $C[$i-1][$j];
} else {
$C[$i][$j] = max($C[$i-1][$j],$C[$i-1][$j-$w[$i-1]] + $v[$i-1]);
}
}
}
//构造最优解
$j = $W;
for ($i = $n;$i > 0; $i--) {
if ($C[$i][$j] > $C[$i-1][$j]) {
$x[$i] = 1;
$j -= $w[$i-1];
} else {
$x[$i] = 0;
}
}
ksort($x);
return $data = ['maxvalue' => $C[$n][$W], 'maxroad' => $x];//maxvalue为最大价值，maxroad为最优解
}
}5）算法分析与验证
a.算法复杂度分析（时间复杂度、空间复杂度）
时间复杂度：在第三个循环中，有两个嵌套的 for 循环。因此，语句 if (j